O tym, że książki mają swoje losy, wiemy nie od dziś. Biblioteki lubią przecie wywieszać tę sentencję niejakiego Terencjana Maurusa, filologa z II czy III w. po Chrystusie. Jakieś sześć stuleci przed nim książkę swoją napisał niejaki Euklides. Żył on w Aleksandrii w okresie, gdy miasto to, pod rządami pierwszego z Ptolemeuszów - Lagosa, stało się wybitnym ośrodkiem kultury i nauki, znanym w całym ówczesnym świecie. O nim samym niewiele wiadomo. Zanim przybył do Aleksandrii, wykształcił się prawdopodobnie w Atenach, w szkole założonej przez Platona. Dzieło jego, zatytułowane “Elementy”, miało niezliczoną ilość wydań przez ponad 2000 lat. Do pierwszych dziesięcioleci wieku XX było podstawowym podręcznikiem geometrii we wszystkich niemal szkołach. Żadna inna książka naukowa w historii nie może się równać poczytnością z “Elementami”. Z nich uczyli się wszyscy wielcy twórcy nauk ścisłych - by wymienić tylko Kopernika, Galileusza, Pascala, Newtona, Leibniza, aż po Maxwella i Einsteina. Chyba tylko Biblia wśród wszystkich książek świata ma większą ilość wydań popularnych i krytycznych. Nie będziemy się tu zajmować zagadnieniem oryginalności i autorstwa tego dzieła, choć podejrzewać należy, że Euklides zebrał tu dorobek wielu pokoleń, całą ówczesną wiedzę geometryczną Greków i Egipcjan.

 

Co zdecydowało o tak niesamowitej pozycji tej księgi? Wydaje się, że odpowiedź jest dość bezsporna. Wartością, która dała jej ponad 2000 lat żywotności jest zadziwiająca systematyczność i ścisłość oraz jasność wywodu. Ścisłość ta przez stulecia była wzorem dla całej nauki, wszak na przykład Kartezjusz chciał, by dowody filozoficzne były „tak jasne jak geometria” (choć właśnie on sam wepchnął filozofię na mieliznę, na której ścisłość okazała się niemożliwa, ale to inny temat).

 

Nauczanie geometrii według podręcznika Euklidesa dawało absolwentom szkół przez te dwa tysiąclecia coś więcej niż wiedzę o liniach, figurach, powierzchniach, kątach i bryłach, ich stosunkach przestrzennych i miarach liczbowych. Geometria ta bowiem była wzorem nauki dedukcyjnej. Nauka ta ustanawia bezwzględne związki logiczne między twierdzeniami wchodzącymi w jej skład. Co więcej, istnieje pewien porządek tych twierdzeń, mianowicie następujące później opierają się na udowodnionych wcześniej. Ten łańcuch dowodów musi się gdzieś kończyć, toteż muszą istnieć pierwsze założenia przyjęte bez dowodu. U Euklidesa dzielą się one na dwie grupy: postulaty (oryg. “wymagania” - αιτημα) oraz aksjomaty (κοιναι εννoιαι), ale w zgodniej opinii matematyków podział ten nie wydaje się istotny i wszystkie współcześnie nazywamy aksjomatami. Przykładem takiego aksjomatu przyjętego bez dowodu może być zdanie “przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta”. Drugą kategorię zdań przyjmowanych bez dowodu stanowią definicje. Definiuje się pewne pojęcia za pomocą innych, na przykład: „spośród figur czworobocznych ta jest czworokątna, która jest i równoboczna i prostokątna”. Przytoczone zdanie jest definicją kwadratu, można ją uprościć do postaci: kwadrat jest to prostokąt, który ma kąt prosty (oryginalna nomenklatura Euklidesa jest nieco inna od znanej nam obecnie). Istotne jest jednak to, że łańcuch definicji jednych pojęć za pomocą drugich, podobnie jak łańcuch twierdzeń, też musi gdzieś się kończyć. Istnieją zatem pojęcia, zwane pierwotnymi, przyjmowane bez definicji.

 

Nietrudno zauważyć, że znaczenie tych ustaleń ma wielkie znaczenie dla edukacji i wychowania. Przecież zapominanie o ich znaczeniu prowadzić może i prowadzi - wiemy o tym aż nadto dobrze - do niekończących się dyskusji nie tylko w polityce, gdzie mogą one jeszcze być uzasadnione ścieraniem się interesów, ale także w nauce. W ogromnej większości przypadków analiza logiczna słynnych sporów wykazałaby to, do czego zresztą strony takiej “kłótni” czasami dochodzą, że ci, którzy się spierają, przyjmują różne założenia, co nie zawsze jawnie formułują.

 

W zasadzie można by na tym zakończyć i sformułować postulat, że nauczanie geometrii euklidesowej jako systemu powinno do szkół wrócić, co wywarłoby pozytywny wpływ na zdolność logicznej argumentacji w społeczeństwie. Jednak chciałbym jeszcze zwrócić uwagę na dwie kwestie. Pierwsza z nich to pytanie dlaczego właściwie geometrii euklidesowej nauczać praktycznie przestano. Druga - to związek takiej edukacji z uzasadnianiem w innych sprawach, a w szczególności światopoglądowych i teologicznych.

 

Pierwsze ciosy geometrii euklidesowej zadali dwaj matematycy: Rosjanin polskiego pochodzenia Mikołaj Łobaczewski i Węgier Janusz Bolyai, którzy około roku 1830, niezależnie od siebie, opublikowali prace kwestionujące jeden z klasycznych postulatów Euklidesa. (Chodzi o tak zwany postulat piąty, wedle którego przez punkt nie leżący na prostej przechodzi jedna i tylko jedna prosta równoległa do danej; Łobaczewski postuluje, że prostych takich może być więcej; kwestionowanie jednego z aksjomatów wzięło się z prób udowodnienia niezależności tego aksjomatu od pozostałych). Nie będziemy tu oczywiście rozważać matematycznych i przestrzennych konsekwencji tej „rewolucji”, wystarczy nam fakt - dobrze znany każdemu matematykowi - że prowadzi to do powstania innej geometrii (nieeuklidesowej). Co ciekawe, istnieje w praktyce powierzchnia (niepłaska), na której geometria taka jest „realnie” prawdziwa, powierzchnia ta zwana jest hiperboloidą i stąd geometria Bolyaia - Łobaczewskiego znana jest też jako geometria hiperboliczna. Ponoć największy geniusz matematyczny wszechczasów, Carl Friedrich Gauss, po cichu Łobaczewskiego popierał, ale nie miał odwagi opublikować swego stanowiska. Odkrycie „innej” geometrii nie obaliło oczywiście teorii Euklidesa, pokazało jedynie, że można ją uogólnić (ogólną teorię zawierającą jako szczególne przypadki geometrie Euklidesa i Łobaczewskiego podał w 1859 A.D. Bernard Riemann).

 

Drugim - i może mniej znanym poza ścisłym gronem matematyków - wydarzeniem, które wywarło wpływ na kształt współczesnej geometrii, było opublikowanie przez Davida Hilberta w książce Grundlagen der Geometrie z 1899 roku, formalnego aksjomatycznego ujęcia geometrii. Ujęcie Hilberta różniło się od podejść zarówno Euklidesa jak i Bolyaia - Łobaczewskiego poziomem abstrakcji. Otóż z klasycznego punktu widzenia Euklidesa nie sposób uprawiać geometrii bez rozwiniętej wyobraźni przestrzennej. Weźmy jedną z jego definicji: „linia jest to długość bez szerokości”. A zatem pojęcie to jest abstrakcyjne, jednak tak skonstruowane, że uczeń zapoznając się z ta definicją widzi, na czym abstrakcja ta polega i od czego winien abstrahować.  Hilbert idzie dalej. Z jego punktu widzenia podstawowe pojęcia geometrii są pozbawione określonej treści. Jedynym postulatem jest czysto formalne spełnienie przez te pojęcia związków logicznych wymaganych przez aksjomaty. Geometria taka może być stosowana do różnych układów przedmiotów, dopuszczone są różne jej interpretacje. Na przykład punktem może być para liczb, a prostą - zbiór takich par spełniający określone równanie…

 

Oczywiście można udowodnić, że podejście to ostatecznie prowadzi do wyników takich jak geometria euklidesowa i jest (dla studenta matematyki) niezwykle interesującym przedsięwzięciem intelektualnym prześledzenie takiego dowodu. Tu jednak dochodzimy do sedna sprawy. Czy możemy nie uwzględniać stosowalności geometrii do rzeczywistych stosunków przestrzennych świata? Hilbert usuwa to zagadnienie z zakresu matematyki i oczywiście ma do tego prawo. Jednak kiedy spojrzymy na “matematyczny krajobraz po Hilbercie” widzimy - proszę mi pozwolić na taką nieścisłą przenośnię - zamiast kwitnącego ogrodu raczej smutny ugór czy nawet spalone pobojowisko.

 

Uczniowie szkoły średniej nie uczą się dziś ani geometrii Euklidesa, (ani oczywiście geometrii Łobaczewskiego czy Riemanna), ani geometrii Hilberta. Żadna z nich nie jest wykładana w szkole jako system - od początku do końca. Kiedy zanegowano pierwszą, w jej miejscu pozostały jedynie żałosne fragmenty, obejmujące tylko niektóre wyniki Euklidesa. Euklides „wypadł z łaski”, a nowoczesne wyniki są za trudne na ten poziom. Skutek jest taki, że po współczesnej maturze uczeń nie zna żadnego systemu logicznego budowanego od podstaw. Ma także kłopoty z abstrakcyjnymi pojęciami, bo nie nauczono go tej najprostszej abstrakcji, która była intelektualną podstawą dla pokoleń, które przez dwa tysiące lat uczyły się geometrii z najsłynniejszego podręcznika świata.  

 

Sprawa jest prawdopodobnie poważniejsza niż na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać. Nie chodzi bowiem tylko o matematykę. Chodzi o cały sposób postrzegania i rozumienia świata. Święty Tomasz z Akwinu przekonuje bowiem, że nasz intelekt poznaje świat materialny drogą abstrahowania z wyobrażeń, i tylko w ten sposób!  Zatem każde pojęcie dotyczące świata materialnego musi być utworzone tą drogą. Ergo: bez abstrakcji nie istnieje żadne poznanie intelektualne dotyczące świata widzialnego. “To, co należy do istoty gatunku którejkolwiek z rzeczy materialnych - np. kamienia, człowieka lub konia - można ujmować z pominięciem pierwiastków jednostkowych (principia individualia), które nie wchodzą w istotę gatunku; a to właśnie znaczy: odrywać powszechnik od szczegółu lub formę myślową od wyobrażeń: mianowicie ujmować myślą naturę gatunku nie bacząc na pierwiastki jednostkowe, które są przedstawione przez wyobrażenia” (S. Th. I, 85).

 

Skoro tak, nauka abstrahowania winna być jednym z podstawowych zadań całej edukacji szkolnej. Geometria euklidesowa była wypróbowanym przez wieki sposobem wprowadzenia umysłów młodych ludzi w tę umiejętność. Jej nieobecność (lub obecność szczątkową) we współczesnych podręcznikach matematyki gimnazjalnej i licealnej próbuje się zastąpić teorią mnogości (zbiorów), która z pewnością również powstaje na zasadzie abstrahowania, a ponadto wydaje się rzeczywiście być z teoretycznego punktu widzenia podstawą “wszystkiego” w matematyce. Wszystkiego - poza... dydaktyką. Dydaktyczna przewaga klasycznej geometrii polegała bowiem - skromnym zdaniem niżej podpisanego - na:

 

1. Bardziej intuicyjnym sposobie abstrahowania,

2. Szybszym przejściu do pięknych i doniosłych wyników,

3. Większej praktycznej użyteczności przedmiotu,

4. Ugruntowanym przez wiele wieków doświadczeniu edukacyjnym.

 

Warto więc myśleć o powrocie do owego klasycznego elementu nauczania.

 

Na zakończenie warto jeszcze wspomnieć o jednym aspekcie omawianego tematu. Systemy dedukcyjne, takie jak geometria, stanowią, jak już wspomniano, pewien wzorzec porządnego, naukowego poznawania i uzasadniania twierdzeń. Uczeń poznając geometrię euklidesową spotyka się więc z konstrukcją teorii porządnie uzasadnionej, o czym już wspominaliśmy. Powstaje pytanie, czy wzorzec ten stosuje się do postulatu, który stawia św. Piotr: “Bądźcie zawsze gotowi do obrony wobec każdego, kto domaga się od was uzasadnienia tej nadziei, która w was jest” (1P 3,15).

 

W teologii chrześcijańskiej od najdawniejszych czasów starano się stosować osiągnięcia logiki dla precyzyjnego tworzenia pojęć i przeprowadzania dowodów. Widoczne jest to już w dokumentach pierwszych soborów, zwalczających herezje, które nierzadko dotyczyły właśnie pewnych niuansów w definicjach. Właśnie w historii herezji znakomicie widoczny jest klasyczny efekt, w którym niewielki z pozoru błąd w samych podstawach prowadzi do wielkich błędów w ostatecznych wnioskach. To wtedy kształtuje się i rozwija teologiczna szkoła aleksandryjska, z jej najwybitniejszym przedstawicielem - Orygenesem. Wykłady logiki znajdujemy u św. Grzegorza z Nazjanzu i Jana Damasceńskiego. Ogromną pracę w tej dziedzinie wykonał Boecjusz. Tendencja ta, choć kilkakrotnie zachwiana (np. przez neoplatonizm) utrzymuje się i osiąga niewątpliwy szczyt w dziele św. Tomasza z Akwinu. Później, w czasach, które historycy nazywają nowożytnymi logika w zasadzie nie rozwija się, również teologia staje się bardziej scientia affectiva. Nie mniej jednak kolegia jezuickie i seminaria duchowne w czasach kontrreformacji były jednymi z nielicznych miejsc, gdzie klasycznej logiki nauczano, aż doczekała się ona odrodzenia w początkach wieku XX, w czym ogromny udział miała polska szkoła lwowsko-warszawska.

 

Można i należy postawić pytanie, czy teologia katolicka, sformułowana przy pomocy ścisłych pojęć i mając za swoje pierwsze twierdzenia artykuły wiary da się przekształcić w poprawną teorię aksjomatyczno-logiczną? Pytanie to wcale nie jest naiwne ani banalne. O. Innocenty Bocheński, znakomity logik, twierdził, że jest to zadanie wykonalne i konieczne. Co więcej, analiza pierwszych artykułów Sumy Teologicznej św. Tomasza prowadzi zdaniem Bocheńskiego do wniosku, że autor zaczynając pisać Sumę miał zamiar ją napisać jako dzieło aksjomatyczne. Po jakimś czasie najwyraźniej porzucił ten zamysł, być może zdając sobie sprawę, że nie starczy mu życia by tak ambitne dzieło doprowadzić do końca. Dalsze prace Bocheńskiego wykazały, że rzecz nie jest logicznie prosta i - jeśli kiedykolwiek taka teologia powstanie - będzie na pewno znacznie bardziej skomplikowana niż euklidesowa geometria. Trochę się dziwię, że tak niewielu współczesnych teologów w ogóle się tym zagadnieniem interesuje. Czyżby dlatego, że nie uczyli się geometrii?

 

Michał Jędryka